La fórmula matemática
La función original publicada por Waldo Tobler en su informe técnico Three Presentations on Geographical Analysis and Modeling (NCGIA, 1993) tiene la forma exponencial:
W = 6 · exp(−3,5 · |S + 0,05|)
Donde W es la velocidad de marcha en kilómetros por hora y S es la pendiente expresada como fracción decimal (rise/run). Si caminas en llano (S = 0), la velocidad teórica es W = 6 · exp(−3,5 · 0,05) ≈ 5,04 km/h. La fórmula tiene su máximo a una pendiente negativa de aproximadamente −5 % (ligera bajada), donde la velocidad es exactamente 6 km/h.
La elegancia matemática de Tobler reside en que captura tres comportamientos observados empíricamente: la velocidad cae rápidamente con la pendiente positiva, alcanza un máximo en bajadas suaves (donde la gravedad ayuda sin exigir frenado) y vuelve a caer en bajadas pronunciadas donde el frenado activo penaliza el ritmo.
Comparación con Naismith
La regla de Naismith (1892) es lineal: 1 hora cada 5 km en llano + 1 hora cada 600 m de desnivel positivo. Es práctica para cálculos mentales pero no contempla las bajadas (asume que añaden tiempo cero). Tobler introduce dos refinamientos críticos:
- Tratamiento diferenciado (asimétrico) de subidas y bajadas: ambas cuentan, pero las bajadas suaves aumentan la velocidad y las pronunciadas la reducen, con el máximo en una ligera bajada de en torno al −5 % y no en el llano.
- Continuidad matemática (función exponencial diferenciable), lo que permite integrar la fórmula sobre un perfil altimétrico continuo y obtener un tiempo total más realista.
En la práctica, Tobler predice tiempos un 5-15 % superiores a Naismith para rutas con desniveles importantes y suele ajustar mejor a la realidad medida en GPS.
Implementaciones contemporáneas
La fórmula Tobler está integrada en numerosos motores de cálculo de rutas:
- QGIS a través del módulo
r.walkde GRASS GIS, ampliamente usado en análisis de accesibilidad arqueológica y planificación de rescate. - OpenRouteService, motor abierto de routing peatonal que aplica la función de Tobler en su perfil de senderismo (
foot-hiking). - Wikiloc, AllTrails y otras apps populares estiman tiempos con modelos propios calibrados sobre su base de tracks reales, conceptualmente emparentados con la curva velocidad-pendiente de Tobler.
Limitaciones del modelo
Tobler asume terreno desnudo y caminante medio sin carga. No incorpora:
- Carga de mochila: una carga del 20-25 % del peso corporal puede aumentar el tiempo un 15-30 % adicional.
- Tipo de superficie: pista forestal vs canchal vs nieve dura presentan velocidades muy diferentes a igual pendiente.
- Estado físico individual: el caminante entrenado supera fácilmente la curva Tobler; el ocasional puede quedarse 20-30 % por debajo.
- Paradas: avituallamiento, fotografía, descansos. Habitualmente se añade un 15-20 % adicional al tiempo Tobler para tener un tiempo "de marcha realista".
Cuándo usar Naismith y cuándo Tobler
La elección entre las dos fórmulas depende del momento, del terreno y de los datos disponibles. Esta tabla resume el error porcentual típico que cabe esperar de cada una en escenarios habituales del senderismo español, según contraste con tracks GPS reales. El signo positivo indica que la fórmula se queda corta y el tiempo real supera al estimado:
| Terreno | Naismith | Tobler |
|---|---|---|
| Llano sin desnivel (pista, vía verde) | ±5 % | ±3 % |
| Subida sostenida 5-10 % (sendero firme) | +10-15 % (subestima) | ±5-8 % |
| Bajada pronunciada >15 % | +20-30 % (no contempla bajadas) | ±10 % |
| Pedregal o canchal | +15-25 % (subestima) | +20 % (subestima) |
| Nieve blanda hundiéndose | +50 % (subestima) | +40-50 % (subestima) |
Recomendación práctica
- Usa Naismith para cálculos mentales rápidos sin app, rutas en pista o sendero firme con desniveles moderados, y para sanity-check del tiempo publicado en una ficha. Tienes la calculadora Naismith con prosa explicativa para el caso general.
- Usa Tobler cuando dispongas del perfil altimétrico (GPX oficial), planifiques rutas con desniveles fuertes o tramos importantes de bajada, o necesites un tiempo más fino para coordinar transporte público o cierre de refugio. La calculadora Tobler integra la pendiente media para devolver una estimación ajustada.
- En ambas, añade un 15-20 % adicional sobre el tiempo bruto para incorporar paradas (avituallamiento, fotografía, lectura del mapa). Es lo que en guíarutas llamamos «tiempo total» en cada ficha.
Uso editorial en guíarutas
En las fichas de ruta del sitio aplicamos cuando es posible la combinación Naismith + Tobler: Naismith como referencia rápida en el resumen, Tobler como cálculo más fino a partir del perfil altimétrico cuando hay GPX oficial disponible. La cifra publicada como "tiempo total" en cada ficha incluye un margen del 15-20 % adicional sobre el cálculo bruto para reflejar paradas y ritmo realista.